Cuatro Operaciones: Teoría y Práctica
Nuestro objetivo principal es utilizar adecuadamente las
cuatro operaciones fundamentales (+; -; x; ÷).
Las
cuatro operaciones fundamentales, es el instrumento matemático más antiguo
utilizado por el hombre que nos permite resolver problemas de carácter comercial
y de la vida diaria.
Ejemplo 1: Un
comerciante compra cierta cantidad de agendas en S/.1424 y los vende todos en
S/.2492, ganando así S/.1,50 por agenda. ¿Cuántas agendas compró y cuánto le
costó cada una?
Resolución:
Precio
de costo total: S/. 1424
Precio
de venta total: S/. 2492
Entonces:
Ganancia total = S/. 1068
Como
ganancia en cada agenda es S/.1,50
Entonces:
N° de agendas = 1068/1,50 = 712
Ejemplo 2: Un sastre
pensó confeccionar 100 camisas en 20 días, pero tardó 5 días más por trabajar
2,5 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó por día?
Resolución:
El
sastre perdió 2,5 horas por día, durante 20 días; es decir: Perdió: 2,5*20 = 50
horas.
Las
que recupera en cinco días, a razón de: 50h/d = 10h/d
CALCULO DE DOS NÚMEROS, CONOCIENDO:
I) LA SUMA Y DIFERENCIA
Se
emplea solamente para determinar dos cantidades, si conocemos la suma (S) y
diferencia (D) de ambos, lo que implica que una de las cantidades a calcular es
mayor que la otra.
N°
mayor = (S + D)/2
N°
menor = (S – D)/2
II) SUMA Y COCIENTE
En
el caso que tengamos como dato la suma de dos números (S) y el cociente de
ambos (q), podemos calcular ambos números mediante la siguiente relación:
N°
menor = S/(q +1)
N°
mayor = S.q/(q+1)
III) DIFERENCIA Y COCIENTE
En
el caso que tengamos como dato la diferencia (D) y el cociente de ambos (q),
podemos calcular ambos números mediante la siguiente relación:
N°
menor = D/(q -1)
N°
mayor = D.q/(q-1)
Nota:
Es
recomendable saber que el cociente es la relación del número mayor al número
menor.
*
En un enunciado, al decir que:
- Un
número es el triple del otro significa que su cociente es 3 (q = 3).
- Un
número es la mitad del otro significa que su cociente es 2 (q = 2).
- Un
número es los 4/7 de otro significa que: q = ......
Ejemplo 3: En
cierto día, las horas transcurridas exceden a las que faltan transcurrir en 6
horas. ¿A qué hora ocurre esto?
Resolución:
Sean
“tiempo transcurrido” (t.t) y “tiempo no transcurrido”.
Sabemos
que la suma y la diferencia de estos dos tiempos es:
S
= 24h; D = 6h
Entonces:
t.t. (mayor) = (24 + 6)/2 = 15 horas
Por
lo tanto, la hora: 3 p.m.
Ejemplo 4: Dos personas tienen S/.900 y
S/.300, respectivamente. Se ponen a jugar a las cartas a S/.10 cada partida y
al final la primera que ha ganado todas las partidas, tiene el cuádruple de lo
que tiene el segundo. ¿Cuántas partidas se jugaron?
Resolución
La
suma total de dinero, entre juego y juego, no varía.
Entonces:
S = S/.1200
Luego
de “n” jugadas: q = 4
En
ese momento el ganador tiene: 1200x4 / (4+1) =
S/ 960, habiendo ganado: S/.960 – S/.900 = S/.60 a S/. 10 cada
partida.
Nº
de partidas = n = 60/10 = 6
Ejemplo 5: En
aquel entonces tu tenías 20 años más que yo, que tenía la quinta parte de la
edad que tenías. Si eso sucedió en 1980, actualmente (2004) que edad tenemos,
asumiendo que ya cumplimos años.
Resolución:
En
1980 la diferencia y el cociente de nuestras edades era: D= 20 ; q= 5
Teníamos:
Tu
(mayor) = 20*5/(5-1) = 25
Yo
(menor) = 25 - 20 = 5.
Actualmente
tenemos: 49 y 29 años.
MÉTODOS OPERATIVOS
El
propósito de este tema es mostrar los “métodos” usados con mayor frecuencia,
que han demostrado su eficacia frente a otros procedimientos; aunque es
necesario reconocer en qué casos se deben aplicar.
METODO DE LAS DIFERENCIAS
(Método del rectángulo)
Es
un método que se aplica a problemas donde participan dos cantidades
excluyentes, una mayor que la otra, las que se comparan en dos oportunidades
originando, generalmente, en un caso sobrante o ganancia y en el otro caso un
faltante o pérdida.
Ejemplo 1: Un comerciante analiza: si compro
a S/.15 el kilo de carne me faltaría S/.400; pero si sólo compro de S/.8 el
kilo me sobraría S/.160. ¿Cuántos kilogramos necesita comprar y de que suma
dispone?
Resolución:
Si
compro a S/.15 c/Kg ---f---- S/.400
S/.
8 c/Kg -----s--- S/.160
Du
= S/. 7 c/Kg y Dt = S/.560
Entonces
la Cantidad (Kg) = Du/Dt = 560/7 = 80
Por
lo tanto, el Dinero disponible = 80Kg x S/.8 + S/.160 = S/. 800
Ejemplo 2: Para ganar $28 en la rifa de una
filmadora se hicieron 90 boletos, vendiéndose únicamente 75 boletos y originando
así una pérdida de $17. Calcular el costo de cada boleto y el valor de la
filmadora.
Resolución:
Si
vendiera 90 bol -----g--- $28
75 bol ----p---- $17
D = 15 bol D = $45
Entonces
el Costo c/boleto = $45/15 bol = $ 3
Por
lo tanto, el valor de la filmadora = 90 x 3 – 28 = $242
METODO DEL CANGREJO
(Método Inverso)
Es
un método utilizado en problemas donde interviene una variable a la cual se
realiza una serie de operaciones directas hasta llegar a un resultado final. Se
denomina “método inverso”, porque a partir del dato final se realizan las
operaciones inversas hasta llegar al valor inicial.
Ejemplo 3: Al preguntarle a “Pepito” por su
edad, él contestó con evasivas diciendo lo siguiente: “si le agregas 10, al
resultado lo multiplicas por 5 y enseguida le restas 26 para luego extraerle la
raíz cuadrada y por último lo multiplicas por 3, obtendrás 24”. ¿Cuál es la
edad de “Pepito”?
Resolución:
Considerando
la edad de Pepito: E; y aplicando las operaciones consecutivamente, como lo
indicado por “Pepito”, tenemos:
E
+ 10 x 5 – 26 Öx
3 = 24
Aplicando
operaciones inversas, tenemos:
E
= 24 : 3 2
+ 26 : 5 - 10
E
= 8 años.
Ejemplo 4: El nivel del agua de un tanque en
cada hora desciende 2m por debajo de su mitad, hasta quedar vacío el tanque
luego de 3 horas. Qué volumen de agua se ha utilizado, sabiendo que el tanque
tiene una base circular de 5m2.
Resolución:
Considerando
el Nivel inicial del agua: H
Del
problema deducimos que, en cada hora, queda la mitad menos dos metros de agua.
Entonces,
en tres horas, queda: H : 2 - 2 : 2 - 2 : 2 - 2 = 0
Aplicando
operaciones inversas, a partir del final, tenemos:
H
= 0 + 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2
H
= 28 m.
Teniendo
en cuenta que el volumen de un tanque circular es:
V
= Área de la base x altura
Entonces
V = 5 m2 x 28 m = 140 m3
METODO DE FALSA SUPOSICION
(Regla del Rombo)
Se
aplica cuando en un problema participan un número de elementos divididos en dos
grupos cuyos valores unitarios (o características) se conocen y además nos
proporcionan el valor total, que es la resultante de sumar todos los valores
unitarios.
Ejemplo 5: En el salón de clase el peso promedio
de cada alumno es de 75 kg y de cada alumna 60 kg, si el peso total de todos es
de 4020 kg. ¿En cuánto excede el número de mujeres al de los varones, si en
total son 60?
Resolución:
Aplicando
el método de la falsa suposición:
Supongamos
que los 60 alumnos pesan 75 Kg c/u.
Entonces,
el peso de todos los alumnos sería (Valor supuesto) = 60 x 75 = 4500 Kg
Este
valor excede al real en: 4500 – 4020 = 480 Kg
Este
exceso es por que asumimos que todos eran varones, por lo que dimos un valor
agregado a cada alumna de: 75 – 60 = 15 Kg.
Entonces:
N°
de alumnas = 480/15 = 32
N°
de alumnos = 60 – 32 = 28
En
consecuencia: D =
32 – 28 = 4
*
Las operaciones efectuadas en la solución de este problema se pueden resumir
en:
Esta es la regla práctica del método de la falsa suposición, llamada REGLA DEL ROMBO, que consiste en ubicar la información del problema en los cuatro vértices del rombo, de la siguiente manera:
Donde:
NE:
Número total de elementos.
M:
Mayor valor unitario.
m:
menor valor unitario.
VT:
Valor total.
Si
se desea calcular el número de elementos que tienen el menor valor unitario, se
procede de la siguiente manera:
N°
= (NExM – VT)/(M – m)
Ejemplo 6: En una billetera hay 24 billetes
que hacen un total de 560 soles. Si solamente hay billetes de 50 y 10 soles, ¿cuántas
eran de cada clase?
Resolución:
REGLA CONJUNTA
Es
un método que nos permite determinar la equivalencia de dos elementos.
Procedimiento:
1.
Colocar la serie de equivalencias formando columnas.
2.
Procurar que en cada columna no se repitan los elementos; si se repiten cambiar
el sentido de la equivalencia.
3.
Multiplicar los elementos de cada columna.
4.
Despejar la incógnita.
Ejemplo 7: Si 4 soles equivalen a una libra
esterlina; 3 yenes equivalen a 2 libras esterlinas; 5 marcos equivalen a 6 yenes;
y 9 marcos equivale a 6 pesetas. ¿Cuántas pesetas equivale a 16 soles?
Resolución:
S/.
4 <> 1 l.e.
2
l.e. <> 3 yenes
6
yen. <> 5 marcos
9
mar. <> 6 pesetas
X
pes. <> S/. 16
------------------------------
4.2.6.9.X
= 1.3.5.6.16
X
= 10/3
Problemas para aplicar lo
aprendido
1. Se ha pagado una deuda de S/.
170 con monedas de S/. 5 y S/.2. El número de monedas de S/. 2 es mayor que la
de S/. 5 en 15. ¿Cuánto suman las monedas de S/.
5
y S/. 2?
Respuesta
...........................................
2. Un carnicero compró 152 kg de carne
a S/. 15 el kg, después de haber vendido 32 kg a S/. 18 el kg. guarda la carne
por varios días y se le malogra el 30%. ¿A cómo debe vender el kg de lo que le
queda para ganar en total 144 soles?
Respuesta
...........................................
3. Compré varios radios portátiles
por $2800; vendí parte de ellos en $900 a $60 cada radio perdiendo $20 en cada
uno. ¿A como debo vender cada uno de los restantes para que pueda ganar $ 500
en la venta total?
Respuesta
...........................................
4. Un tanque de agua de 540 m³ de capacidad,
puede ser desaguado mediante 3 bombas A, B y C colocadas equidistantemente de arriba
hacia abajo; los caudales respectivos son de 3; 10 y 5m³/min. Si estando lleno
el tanque se ponen en funcionamiento las bombas. ¿En qué tiempo será desaguado
totalmente?
Respuesta
...........................................
5. Para la elección de la Junta
Directiva del mejor equipo del mundo “TODO SPORT” se presentaron tres listas A,
B y C, 150 hombres no votaron por C; 170 mujeres no votaron por B; 90 hombres
votaron por C; 180 votaron A y 50 hombres votaron por B. ¿Cuántos fueron los
votantes y que lista ganó, si 200 votaron por B?
Respuesta
...........................................
6. Un ómnibus que hace su recorrido
de Lima a Huaral, y en uno de sus viajes recaudó en total la suma de S/. 228.
El precio único del pasaje es de S/. 6.00, cualquiera que sea el punto donde
baje o suba el pasajero; cada vez que bajó un pasajero subieron 3 y el ómnibus llego
a Huaral con 27 pasajeros se desea saber el N° de pasajeros que llevaba el
ómnibus al salir de Lima
Respuesta
...........................................
7. Hallar el mayor de dos números sabiendo
que la suma es el máximo número de 3 cifras y su diferencia es el máximo número
de 2 cifras.
Respuesta
...........................................
8. En una fiesta en la cual hay 42 personas,
la primera dama baila con 7 caballeros; la segunda dama con 8; la tercera con
nueve y así sucesivamente hasta que la última baila con todos los caballeros. ¿Cuántos
caballeros asistieron?
Respuesta:
..........................................
9. Si le pago S/. 15 a cada uno de
mis empleados, me faltarían S/. 400, pero si sólo le pago S/. 8 me sobrarían
S/. 160. ¿Cuántos empleados tengo?
Respuesta:
..........................................
10. Un padre va al cine con sus
hijos y al sacar entradas de S/. 3 observa que le falta para 3 de ellos, y entonces
tiene que sacar entradas de S/. 1,50. Así entonces entran todos y aún le sobran
S/. 3 ¿Cuántos eran los hijos?
Respuesta:
........................................
11. Mientras iba al mercado a vender
sus sandías un comerciante pensaba: si los vendo cada uno a S/. 18, me compraré
mi terno y me sobrarán S/. 60; pero si los vendo a S/.20 cada uno, me sobrarían
S/.90 luego de comprarme mi terno. ¿Qué precio tiene el terno?
Respuesta:
.........................................
12. Para ganar S/. 28 en la rifa de
una radio se hicieron 90 boletos, vendiendo únicamente 75 y originando una
pérdida de S/. 17. ¿Cuál es el valor de la radio?
Respuesta:
.........................................
13. A un número le sumamos 2; luego lo
multiplicamos por 10 al resultado le sumamos 14 y obtenemos 54 como resultado
final. De qué número se trata.
Respuesta:
.........................................
14. Se tiene un número de dos cifras
al cuál se le multiplica por 4, luego se le suma 36, se le divide entre 2, nuevamente
lo multiplicamos por 3 para al final restarle 33, obteniendo como resultado
final el máximo número de 2 cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras de
dicho número.
Respuesta:
..........................................
15. Paquito ha pensado un número en
la cual le realiza las siguientes operaciones consecutivas; le agrega 2 a este
resultado lo multiplica por 4 luego le merma 4, este resultado le extrae la
raíz cuadrada, luego lo divide entre 2 y por último le quita uno; obteniendo
como resultado final uno. ¿Cuál es el número?
Respuesta:
.........................................
16.
Una niña escogió un número con el
cual realizó las siguientes operaciones en el orden mencionado: lo elevo al
cuadrado, restó tres a la potencia, dividió entre dos la diferencia, elevó al
cubo el cociente, le agregó nueve a la potencia, le extrajo la raíz cuadrada a
la suma y finalmente multiplico por 9 la raíz, obteniendo de esta forma 54.
Calcular el duplo del número elegido.
Respuesta.:
......................................
17.
Dos amigos decidieron jugar una partida
de cartas con la condición que el que pierda duplicará el dinero del otro. Si
cada uno ha perdido una partida quedándole a cada uno S/.40. ¿Cuánto tenían
inicialmente cada uno?
Respuesta:
.........................................
18. A, B, C deciden jugar teniendo
en cuenta la siguiente regla que el perdedor deberá duplicar el dinero de los
demás. Pierden en el orden indicado y al final quedaron como sigue A con S/.
16, B con S/. 24 y C con S/. 60. ¿Cuánto tenía A al principio?
Respuesta:
…………………………………………
19. Tres amigos están jugando con la
condición que aquel que pierda deberá duplicar el dinero de los otros dos. Si
cada uno ha perdido una partida quedándole luego de la tercera partida con S/.
60 c/u; dígase cuánto tenía inicialmente c/u.
Respuesta:
………………………………………………