Sistemas Lineales: Gas Natural Vehicular (GNV)

Abastecemos con gas natural a los vehículos en el Perú

Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio

El uso de gas natural vehicular (GNV) como combustible disminuye la emisión de gases contaminantes, como el monóxido de carbono (CO), los hidrocarburos (HC) y el dióxido de carbono (CO2), que se emiten con el uso de la gasolina y demás combustibles. De esta manera, la utilización de gas natural contribuye a la reducción de las enfermedades respiratorias y del calentamiento global; así mejora la calidad medioambiental.

En el Perú, cada día hay más personas que convierten sus vehículos a GNV, y actualmente alrededor de 350 000 peruanos utilizan este combustible, como es el caso de Laura. Ella, cuando abasteció su auto de gas en un grifo de la ciudad, pidió que completaran el tanque con GNV y, luego, cuando miró la pantalla del surtidor, se dio cuenta de que la venta total por consumo fue de S/19. Laura pagó con un billete de S/100, pero José, la persona que atiende, se percató de que solo contaba con monedas de S/2 y S/5.

Respecto a la situación presentada, responde las siguientes preguntas:

a. ¿De cuántas formas diferentes José puede dar el vuelto a Laura?

b. ¿Cuál es la expresión algebraica que modela el vuelto que entregará José? 

c. ¿Qué dato agregarías a la situación para que José solo tenga una forma posible de dar el vuelto a Laura? 

d. ¿Cuál sería la representación algebraica del nuevo dato? ¿Cómo daría José el vuelto a Laura en este caso? ¿Cómo puedes ayudar a José a dar el vuelto?

Comprendemos el problema

1. ¿Qué datos se presentan en la situación inicial?

- Laura compró 19 soles de GNV.

- Laura pagó con 100 soles.

- Laura debe recibir 81 soles de vuelto.

- José, el grifero, para el vuelto sólo tenía monedas de 2 y 5 soles.

2. ¿Qué te piden hallar las preguntas de la situación inicial? 

- Determinar la cantidad de formas de dar el vuelto.

- Hallar la expresión matemática del vuelto.

- Agregar un dato adicional para que exista una sola forma de dar el vuelto.

- La nueva expresión algebraica con el nuevo dato, la nueva forma de dar el vuelto y ayudar a José hacer uso de esta nueva forma.

3. ¿Tienes información suficiente para responder la pregunta a de la situación inicial? Explica.

- Sí, porque para determinar las formas diferentes de dar el vuelto los datos necesarios son la cantidad del vuelto y las monedas con la que cuenta José.

4. Si José solo tuviera monedas de S/2, ¿podrá dar el vuelto a Laura? Y, si tuviera solo monedas de S/5, ¿lo podrá hacer? Justifica tu respuesta. 

- En caso de que José tuviera sólo monedas de 2 soles le sería imposible dar el vuelto ya que 81 no es un múltiplo de 2.

- Pero si José al menos cuenta con un moneda de 5 soles para completar el vuelto le falta 76 soles y esto lo haría con 38 monedas de 2 soles.

Diseñamos o seleccionamos una estrategia o plan

5. Si José tiene una moneda de S/5 y las demás monedas de S/2, ¿podrá dar el vuelto? Completa la tabla y justifica tu respuesta.

N.° de monedas de 5 soles	N.° de monedas de 2 soles	Vuelto (S/)	Podrá dar vuelto (Sí/No)
1 moneda de S/5	1 moneda de S/2	1(5) + 1(2) = 7	No
1 moneda de S/5	5 monedas de S/2	1(5) + 5(2) = 15	No
1 moneda de S/5	30 monedas de S/2	1(5) + 30(2) = 65	No
1 moneda de S/5	33 monedas de S/2	1(5) + 33(2) = 71	No
1 moneda de S/5	38 monedas de S/2	1(5) + 38(2) = 81	Si
1 moneda de S/5	40 monedas de S/2	1(5) + 40(2) = 85	No

6. Tomando en cuenta tus respuestas anteriores, responde: ¿Cuál de las siguientes estrategias te ayudará a resolver la situación inicial? Argumenta tu respuesta.

a) Usar un diagrama de flujo

b) Plantear una ecuación 

c) Emplear el ensayo y error

d) Hacer un esquema

Plantear una ecuación es una de las técnicas de modelación por excelencia a nivel elemental. Lo primordial para poder aplicarla con éxito es el entrenamiento que se tenga en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. Es conveniente ponerse de acuerdo en cuanto a convenciones generales de redacción para no crear ambigüedades.

7. Describe la estrategia que emplearías para resolver la situación inicial.

- Una vez planteada la ecuación en la pregunta 5, debemos ir variando la cantidad de monedas de 5 soles y de 2 soles de manera que el resultado sea 81 soles de vuelto, haciendo esto podemos dar respuesta a la pregunta a. Para la pregunta b debemos definir las variables x e y para enseguida representar en un plano cartesiano.

Ejecutamos la estrategia o plan

8. Desarrolla la estrategia elegida y responde la pregunta a de la situación inicial.

N.° de monedas de S/5	N.° de monedas de S/2	Vuelto (S/)
1	38	1(5) + 38(2) = 81
3	33	3(5) + 33(2) = 81
5	28	5(5) + 28(2) = 81
7	23	7(5) + 23(2) = 81
9	18	9(5) + 18(2) = 81
11	13	11(5) + 13(2) = 81
13	8	13(5) + 8(2) = 81
15	3	15(5) + 3(2) = 81

Existe 8 formas diferentes de dar el vuelto a Laura teniendo solamente monedas de 2 y 5 soles.

9. Define tus variables. Luego, responde la pregunta b de la situación inicial y represéntala en el plano cartesiano.

- Variable x: Cantidad de monedas de 5 soles

- Variable y: Cantidad de monedas de 2 soles

- Expresión algebraica: 5x + 2y = 81

- Representación en el plano cartesiano:

10. ¿Qué dato agregarías a la situación inicial para que José tenga solo una forma posible de dar el vuelto a Laura? ¿Para qué te servirá el dato que acabas de añadir?

- Agregamos 30 monedas, con ello habría sólo una forma para dar el vuelto a Laura.

- Este dato nos permite formar una segunda ecuación lineal y junto con la primera establecer un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

11. Escribe la representación algebraica del nuevo dato y utiliza la expresión algebraica planteada en la pregunta 9 para formar un sistema de ecuaciones lineales. Luego, describe sus características.

- Expresión algebraica: x + y = 30

- Sistema de ecuaciones lineales: 

5x + 2y = 81 ... (I)

x + y = 30 ... (II)

12. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales planteado en la pregunta anterior y responde la pregunta d de la situación inicial.

- Aplicamos el método de reducción para resolver el sistema de ecuaciones lineales. Vamos a eliminar la incógnita y, entonces multiplicamos por -2 la ecuación (II):

-2x + -2y = -60 ... (II)

- Ahora sumamos las dos ecuaciones:

5x + 2y = 81 ... (I)

-2x - 2y = -60 ... (II)

-------------------------

3x = 21 -> x = 7 monedas de 5 soles

- Sustituimos x = 7 en la ecuación (I) y resolvemos:

5(7) + 2y = 81 ... (I)

35 + 2y = 81

2y = 46

y = 23 monedas de 2 soles

- Por lo tanto, el conjunto solución es {(7;23)}

Reflexionamos sobre el desarrollo

13. ¿Cómo generalizarías tu solución de la pregunta a de la situación inicial? Escribe la representación algebraica.

- Generalización de la pregunta a: 5x + 2y = 81, siendo x e y números enteros positivos, además x impar desde 1 hasta 15 e y una de 38 a 3, con razón 5.

14. Describe el procedimiento que empleaste para resolver el sistema de ecuaciones lineales de la pregunta 12.

- Una vez teniendo las dos ecuaciones lineales se decide cuál incógnita vamos eliminar. Luego se busca un número opuesto que multiplica a una de las ecuaciones. Seguidamente se suman, quedando una tercera ecuación con una incógnita que para hallar su valor se despeja, se hace algunas operaciones y listo. Y para hallar el valor de la otra incógnita se sustituye el valor de encontrado anteriormente en cualquiera de las dos ecuaciones, se realiza las operaciones básicas y listo. Finalmente, se representa el conjunto solución, primero se escribe el valor de x, seguida de un punto y coma para luego escribir el valor de y.

15. Verifica la solución que obtuviste. Para ello, reemplaza los valores de las variables x e y en las ecuaciones del sistema lineal.

- Reemplazamos x = 7 e y = 23 en las ecuaciones lineales:

5(7) + 2(23) = 81 ... (I) -> 35 + 46 = 81 ->  81 = 81 (verdadero)

7 + 23 = 30 ... (II) -> 30 = 30 (verdadero)