Razonamiento Matemático Lógica Inferencial

Lógica inferencial

Concepto

En este tema se analiza la estructura interna de las proposiciones y la relación que existe entre el sujeto y el predicado.

Nociones previas

Proposición

Es aquel enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o falso, pero no puede ser verdadero y falso a la vez.

Ejemplos:

- p: cinco más ocho es igual a 13       (v)

- q: Lima es capital de Bolivia       (F)

- r: El número seis pertenece al conjunto de los números enteros     (V)

Proposición categórica

Es aquel enunciado o proposición que afirma o niega la relación de dos conjuntos o clases.

Ejemplos:

1. Todas las mujeres son hermosas.

Indica que todos los elementos del conjunto o clase " Mujeres" están considerados totalmente en el conjunto o clase "Hermosas".

2. Ningún animal es un ser que razona.

Indica que no existen elementos del conjunto o clase "animal" considerados en el conjunto o clase "ser que razona".

3. Algunos estudiantes son puntuales.

Indica que algunos elementos del conjunto o clase "estudiantes" son considerados en el conjunto o clase "puntuales".

4. Algunas botellas no son de vidrio.

Indica que existen algunos elementos o al menos un elemento del conjunto "botella" que no se considera en la clase "vidrio".

Analizando los ejemplos anteriores, observamos la relación que existe entre las clases o conjuntos en una proposición categórica. Algunas relaciones pueden ser de inclusión o exclusión, totales o parciales, ello lo notamos por el uso de las palabras: todos, ningún, algunos, no todos.

Dichas palabras son conocidas con el nombre de cuantificadores.

Cuantificadores

Son expresiones lógicas que indican la relación entre los conjuntos o clases de una proposición categórica.

Los cuantificadores pueden ser clasificados de la siguiente manera:



Inferencia

Es el análisis lógico que, partiendo de una o más proposiciones (premisas), obtiene una nueva proposición llamada conclusión.

Ejemplos:

a) Todos los estudiantes de San Fernando son responsables.

Si Carlos, Luis y Claudia, son estudiantes de San Fernando, se deduce o se infiere que: algunos estudiantes de Trilce son responsables.

b) Todos los ingenieros dominan matemática.

Se deduce o se infiere que algunos ingenieros dominan matemática.

c) Si:

- Tolos los arequipeños son bohemios.

- Todos los bohemios son felices.

Se infiere: Todos los limeños son felices.

d) Si:

- Todos los adolescentes son responsables.

- Ningún responsable es inmaduro.

Entonces: Ningún adolescente es inmaduro.

Nota: las inferencias que tengan dos premisas (como, por ejemplo, "c" y "d") se llaman silogismos.

Para un mejor análisis de los problemas, consideraremos los siguientes aspectos:

Caso 1: Cuando las proposiciones se refieran solo a cuantificadores universales.

Caso 2: Cuando las proposiciones se refieran a cuantificadores universales y particulares.

Caso 3: Negación de proposiciones.


Gráfica de proposiciones

Caso 1

Esta representación es muy útil si en las proposiciones solo aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES.

Ejemplo 1. Si se sabe que:

- Todos los mamíferos son vivíparos.

- Ningún batracio es vivíparo.

- Todos los sapos son batracios.

Podemos concluir que:

a) Algunos sapos son vivíparos.

b) Algunos mamíferos son batracios.

c) Todos los batracios son sapos.

d) Ningún sapo es mamífero.

e) Todos los mamíferos son batracios.

Resolución:

Se observa que solo hay cuantificadores universales, graficando:

Se infiere: ningún sapo es mamífero.

Respuesta. a

Caso 2

Considerando las siguientes representaciones:

Por lo tanto, utilizando diagramas de Venn Euler, tendremos:

- Esta representación es recomendable si en las proposiciones aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES Y PARTICULARES.

- Para graficar más de una proposición, primero se grafican aquellas que tengan cuantificador universal para luego continuar con las que tengan cuantificador particular.

Ejemplo 2. Si:

- Algunos “A” que son “B” no son “T”.

- Todos “B” son “A”.

- Ningún “A” es “C”.

Entonces:

I. Ningún "B" es "C".

II. Todos los “A” son “B”

III. Algunos “C” no son “A”

Respecto a estas afirmaciones, las correctas son:

Resolución:

Graficando los cuantificadores universales:

Finalmente, considerando el cuantificador particular:

Entonces:

I. Verdadero.

II. Falso.

III. Falso.

Respuesta. c

Caso 3 Negación de proposiciones categóricas

Una forma práctica para realizar la negación de una proposición categórica es usar los diagramas de Venn Euler. Para ello, primero se presenta gráficamente la proposición, luego se niega la zona representada y finalmente se interpreta el gráfico obtenido.

Observamos que la negación de un cuantificador universal es un cuantificador particular y viceversa.

Ejemplo 3. La negación de "todos los rectángulos son paralelogramos", es:

a) Todos los rectángulos no son paralelogramos.

b) Todos los no rectángulos no son paralelogramos.

c) Algunos rectángulos no son paralelogramos.

d) Algunos rectángulos son paralelogramos.

e) Todos los no rectángulos son paralelogramos.

Resolución:

Graficando la premisa: "Todos los rectángulos son paralelogramos".

Un "no existe" se niega con un "existe al menos uno".

Finalmente, el gráfico de la negación es:

Algunos rectángulos no son paralelogramos.

Respuesta. c

Ejemplo 4.- A partir de las siguientes premisas:

Todos los artistas son sensibles.

No es cierto que todos los poetas sean sensibles.

Se infiere válidamente:

a) Todos los poetas son artistas.

b) Ningún artista es poeta.

c) Algunos poetas no son artistas.

d) Todos los artistas son poetas.

e) Algunos sensibles no son poetas.

Resolución:

Analizando y graficando:

Finalmente:

Se infiere: algunos poetas no son artistas.

Respuesta.: c



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